정다면체

개요

정다면체(正多面體,Platonic solid)는 볼록 다면체 중에서 모든 면이 합동인 정다각형으로 이루어진 다면체를 말한다. 이 조건이 성립하는 다면체는 오로지 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 5개 뿐이다.

증명

오로지 5 개의 정다면체만 존재함은 아래와 같이 증명할 수 있다.

1. 다면체에서 최소한 세 개의 면이 있어야 하나의 꼭짓점이 만들어진다.
2. 이때 각 꼭지각의 합은 360보다 작아야 한다.
3. 다면체를 구성하는 면은 모두 합동이므로 각 꼭지각의 크기는 같다.

  한편, 이런 꼭지각이 최소한 세 개로 구성되므로 모든 꼭지각의 크기는 360°/3=120° 보다 작아야 한다.

4. 내각의 크기가 120°보다 작은 정다각형은 정삼각형, 정사각형, 정오각형 3개 뿐이다.

  정삼각형 : 한 내각이 60°이므로, 한 꼭지점에 모일 수 있는 갯수는 3개, 4개, 5개이다.
  정사각형 : 한 내각이 90°이므로, 한 꼭지점에 모일 수 있는 갯수는 3개 뿐이다.
  정오각형 : 한 내각이 108°이므로, 한 꼭지점에 모일 수 있는 갯수는 3개 뿐이다.

아래 영상은 1~3까지의 설명 및 증명이다.

아래 영상은 4번에 대한 설명 및 증명이다.